正态分布是一种在自然界和社会科学中广泛存在的概率分布形式。它以钟形曲线的形式呈现，具有对称性且集中于中心值附近。对于一个标准正态分布而言，其数学表达式为：
\[ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \]
其中，\( \mu \) 表示均值（即期望），而 \( \sigma \) 则代表标准差，其平方即为方差。
在正态分布中，期望值 \( \mu \) 恰好位于曲线的最高点，也是整个分布的中心位置。这意味着数据倾向于围绕这个中心值聚集，并随着距离中心越远，出现的概率迅速减小。
方差 \( \sigma^2 \) 描述了数据点相对于均值的离散程度。较大的方差意味着数据更加分散；反之，则表示数据更为紧密地集中在均值周围。
特别地，在标准正态分布中，\( \mu=0 \)，\( \sigma=1 \)，这是所有正态分布的基础模型。通过线性变换，任何其他形式的正态分布都可以转化为标准正态分布进行研究。
正态分布在统计学中有极其重要的地位，无论是用于描述随机误差还是作为假设检验的基础，都离不开对其性质的理解与应用。因此，掌握正态分布的期望和方差的概念对于深入学习统计分析至关重要。
