在物理学中，弹性碰撞是一个非常重要的概念。它描述的是两个物体相互作用时，既没有能量损失也没有形变的情况。为了更好地理解这一现象，我们需要深入研究弹性碰撞的数学表达式及其背后的物理原理。

首先，让我们回顾一下弹性碰撞的基本特性。在这种情况下，动量和动能都守恒。这意味着，在碰撞前后，系统的总动量和总动能保持不变。基于这些条件，我们可以建立相应的方程来描述这种过程。

假设我们有两个质量分别为m₁和m₂的物体，它们以速度v₁和v₂进行碰撞，并且碰撞后它们的速度变为v₁'和v₂'。根据动量守恒定律，我们可以写出如下等式：

\[ m_1v_1 + m_2v_2 = m_1v_1' + m_2v_2' \]

同时，根据动能守恒定律（因为是弹性碰撞），我们有：

\[ \frac{1}{2}m_1v_1^2 + \frac{1}{2}m_2v_2^2 = \frac{1}{2}m_1v_1'^2 + \frac{1}{2}m_2v_2'^2 \]

接下来，通过代数方法可以解出碰撞后的速度v₁'和v₂'。具体步骤包括将上述两个方程联立求解，并利用一些代数技巧简化表达式。最终得到的结果就是弹性碰撞的速度关系式。

对于一维情况下的弹性碰撞，速度关系可以表示为：

\[ v_1' = \frac{(m_1 - m_2)v_1 + 2m_2v_2}{m_1 + m_2} \]

\[ v_2' = \frac{(m_2 - m_1)v_2 + 2m_1v_1}{m_1 + m_2} \]

这些公式展示了在不同质量和初始速度条件下，两物体碰撞后速度的变化规律。值得注意的是，当两个物体的质量相等时，会发生完全交换速度的现象；而当一个物体的质量远大于另一个物体时，则几乎不会改变该较大物体的速度。

除了上述一维情形外，在二维甚至更高维度上也存在类似的弹性碰撞公式。不过此时需要考虑更多的方向分量以及更复杂的矢量运算。尽管如此，核心思想仍然遵循动量与能量守恒的原则。

总之，通过严格的数学推导和物理分析，我们能够准确地描述弹性碰撞过程中各参量之间的关系。这不仅有助于加深对经典力学的理解，也为解决实际问题提供了强有力的工具。无论是天体运动还是微观粒子交互，都可以借助这些基本原理来进行建模和预测。