在数学的世界中，数列是一个不可或缺的概念。无论是初学者还是资深研究者，掌握数列公式都是通往数学殿堂的关键。本文旨在提供一份详尽的数列公式大全，帮助读者更好地理解和运用这些知识。

首先，我们来探讨等差数列和等比数列的基础公式。对于等差数列，其通项公式为 \(a_n = a_1 + (n-1)d\)，其中 \(a_1\) 是首项，\(d\) 为公差；而求和公式为 \(S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}\)。等比数列则有所不同，其通项公式为 \(a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}\)，\(r\) 表示公比，求和公式为 \(S_n = a_1 \cdot \frac{1-r^n}{1-r}\)（当 \(r \neq 1\) 时）。

接下来，我们讨论斐波那契数列，这是一个特殊的递归数列，其定义为 \(F_n = F_{n-1} + F_{n-2}\)，初始条件为 \(F_1 = 1, F_2 = 1\)。虽然没有直接的通项公式，但通过矩阵快速幂或黄金分割率可以高效地计算其任意项。

最后，我们简述调和级数和几何级数的基本概念及其求和方法。调和级数 \(H_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n}\) 虽然没有闭式解，但可通过积分法近似；而几何级数 \(G_n = a + ar + ar^2 + ... + ar^{n-1}\) 的求和公式为 \(S_n = a \cdot \frac{1-r^n}{1-r}\)。

通过这份数列公式大全，希望能为你的数学之旅提供有力的支持。

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